[Multiple View Geometry] Chapter 2,3 (Part 1/2)

참고자료 : 3D Computer Vision | Lecture 2 (Part 1) : Rigid Body motion and 3D Projective Geometry

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학습목표

1. SE(3) group 개념, 3D space 에 있는 rigid body motion을 표현하는 데 사용가능
2. Perspective 3D view에서 point와 plane을 정의하고, point-plane duality를 설명가능
3. Perspective 3D view의 line들을 표현하기 위해 null space, span matrix, plucker coordinate를 사용할 수 있음
4. Perspective 2D view conics을 사용하여 Perspective 3D view quadric을 설명하는 데 사용할 수 있음

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Notation

• Euclidean space : E^3
  • 모든 Euclidean space 내 point는 Cartesian coordinates 내 실수로 표현가능하다.
• Vector의 정의
  • Bound vector
  • Free vector
• Inner product
  • 같은 벡터간의 내적 : distance
  • 다른 벡터간의 내적 : 두 벡터 간 각도
  • If inner product == 0 : orthogonal vectors
• Outer product (Cross product)
  • Right Hand Rule
  • 외적벡터 : 두 벡터에 모두 orthogonal 한 벡터
  • ( u x v) = - (u x (-v)) = ((-v) x u)
  • Skew Symmetric Matrix : U * v = B 형태로 나타낼 수 있다.
• Object Coordinate Frame (Body Coordinate Frame)
  • Rigid Object는 항상 3D 상의 orthonomal 좌표계에서 정의될 수 있다.
  • (예) : Camera Frame, World Reference Frame
  • Translation Vector
  • Rotation Matrix ( : Relative Orientation)
• Rigid Body Motion
  • Transformation 과정을 거치더라도 두 점의 distance는 보존된다.
  • Euclidean Transformation
    • 정의 : A map that preserves the distance
    • 3-D Space에서의 Notation : E(3)
    • Special Euclidean Transformation
      • Mapping 관계 g를 정의
      • Preserve Norm : || g(v) || = || v ||
      • Preserve Cross product : g(u) x g(v) = g( u x v)
      • Preserve angle : <u,v>  = < g(u), g(v) >
      • Preserve Volume : <u, v x w > = < g(u), g(v) x g(w) >
        • Volume 구하는 식 : <u, v x w>
  • Orthogonal Matrix Representation of Rotation
    • 각각의 항들이 orthonormal하므로, R^T * R = I 를 만족
    • det(R) = 1
    • Special Orthogonal Matrix
      • Right hand Rule을 보존하는 (= Orientation Preserving)
      • Preserve Distance?
      • Preserve angle (Preserve Inner Product)
      • Preserve Cross Product
  • Euler Angle to Rotation Matrix
    • Tait-Bryan Angles ( Yaw - Pitch - Roll 순서)
  • Rigid-body motion and its representations
    • X_w = R_wc * X_c + T_wc
    • 이 때 linear mapping function : Homogeneous Representation g 를 정의할 수 있다.
    • Composition Rule 성립